直行行列の逆行列に関する疑問：xAの逆行列はA^-1/x ではない理由

線形代数で行列の逆行列を理解することは重要なスキルです。質問者のように、定数xが行列Aに掛かる場合、逆行列の扱いに関して疑問を持つことがあります。この記事では、xAの逆行列がなぜA^-1/xではなく、直行行列における逆行列が異なる理由について解説します。

逆行列の基本的な性質

まず、行列の逆行列に関する基本的な性質を復習しましょう。ある行列Aの逆行列をA^-1とすると、次のような関係が成り立ちます。

A × A^-1 = I ここで、Iは単位行列です。この式に従って、逆行列は元の行列を掛けることで単位行列に戻す役割を果たします。

質問者が言うように、xAの逆行列をA^-1/xだと考えた場合、数学的に誤りがあります。xAの逆行列は、次のように求めることができます。

(xA)^-1 = (1/x) × A^-1

ここで、xAの逆行列は単に1/xを掛けたAの逆行列になります。したがって、xAの逆行列はA^-1/xではなく、(1/x) × A^-1 であることがわかります。この理由は、定数xは行列の逆行列に直接的に逆比例するわけではないからです。

次に、直行行列Uにおける逆行列の特性について説明します。直行行列Uは、次の関係を満たします。

U × U^T = I

この式は、Uの転置行列U^TがUの逆行列と同じ役割を果たすことを示しています。つまり、直行行列の逆行列は転置行列と等しいのです。

したがって、直行行列Uの逆行列はU^Tとなります。これは、直行行列特有の性質であり、他の一般的な行列には当てはまらない特徴です。

直行行列と一般的な行列の逆行列の違いを理解することは、線形代数の基礎を深く理解するために重要です。一般的な行列では、逆行列を求める際に定数xの扱いに注意が必要ですが、直行行列ではその逆行列が転置行列と等しいため、計算が簡単になります。

質問者が疑問に思ったxAの逆行列の計算に関して、xAの逆行列はA^-1/xではなく、(1/x) × A^-1であることがわかりました。また、直行行列Uでは、その逆行列がU^Tと等しくなる特性があります。このように、行列の性質を理解することで、逆行列の計算がより明確にできるようになります。