方程式4x + 25y = 2017を満たすx, yにおいて|x - y|を最小にする方法

「4x + 25y = 2017」という線形方程式を満たすx, yの整数解のうち、|x – y|が最小となる組み合わせを求める方法を解説します。

1. 方程式の整理

与えられた方程式「4x + 25y = 2017」を見てみましょう。まずは、この方程式に対するxとyの関係を探り、yをxの式で表す方法を考えます。

yをxについて解くと、次のようになります。

y = (2017 – 4x) / 25

yが整数であるためには、(2017 – 4x)が25で割り切れる必要があります。この条件を満たすxの値を探すために、2017 – 4xが25の倍数であるという条件を立てます。

式で表すと、次のようになります。

2017 – 4x ≡ 0 (mod 25)

これを解くためには、2017を25で割った余りを求め、4xの形にする必要があります。2017を25で割ると、余りは17です。したがって。

4x ≡ 17 (mod 25)

次に、4x ≡ 17 (mod 25)を満たすxを求めます。まず、4の逆数を25の範囲で求めます。4と25は互いに素であるため、逆数が存在します。

4の逆数は、25の範囲で6です（4 * 6 = 24 ≡ -1 (mod 25)）。したがって、4x ≡ 17 (mod 25)を解くためには、両辺を6で掛けることでxの値を求めることができます。

x ≡ 17 * 6 (mod 25)

これを計算すると、x ≡ 102 (mod 25) となり、x ≡ 2 (mod 25)となります。つまり、x = 25k + 2（kは整数）となります。

次に、x = 25k + 2を元の方程式に代入して、対応するyを求めます。xにこの値を代入すると、y = (2017 – 4(25k + 2)) / 25 になります。

計算すると、y = (2017 – 100k – 8) / 25 = (2009 – 100k) / 25 となり、y = 80 – 4k となります。

次に、|x – y|を最小化するkの値を求めます。x = 25k + 2とy = 80 – 4kの差の絶対値を求めます。

|x – y| = |(25k + 2) – (80 – 4k)| = |25k + 2 – 80 + 4k| = |29k – 78|

これを最小化するためには、29k – 78の値が0に近いkを探します。k = 3を代入すると、|29(3) – 78| = |87 – 78| = 9となり、最小の差が得られます。

k = 3のとき、x = 25(3) + 2 = 77、y = 80 – 4(3) = 68となり、|x – y| = |77 – 68| = 9が最小となります。

「4x + 25y = 2017」を満たすx, yのうち、|x – y|を最小にするx, yはx = 77, y = 68です。このように、与えられた方程式に対して条件を整理し、数学的に解法を導くことができました。