フーリエ級数展開では、周期関数を三角関数の和に展開し、特定の係数aₙやbₙを求めます。今回の問題では、周期2πの周期関数f(t) = cos(t)cos(2t)cos(3t)のaₙとbₙを求める方法について解説します。
フーリエ級数展開の基本
フーリエ級数展開では、周期2πの関数f(t)を以下のように展開します。
f(t) = a₀ + Σ (aₙ cos(n t) + bₙ sin(n t))
ここで、a₀、aₙ、bₙはフーリエ係数で、これらを求めるための式が以下です。
- a₀ = (1/π) ∫₋π^π f(t) dt
- aₙ = (1/π) ∫₋π^π f(t) cos(n t) dt
- bₙ = (1/π) ∫₋π^π f(t) sin(n t) dt
これらの式を使って、f(t)に含まれるcos関数やsin関数の係数を求めます。
f(t) = cos(t)cos(2t)cos(3t)の展開
f(t) = cos(t)cos(2t)cos(3t)をフーリエ級数展開に変換するため、まず三重積の展開を行います。三重積の展開式を使って、cos(t)cos(2t)cos(3t)を三角関数の和に変換します。
cos(t) cos(2t) = (1/2) [cos(t – 2t) + cos(t + 2t)] = (1/2) [cos(-t) + cos(3t)] = (1/2) [cos(t) + cos(3t)]
次に、cos(t)cos(2t)をcos(3t)と結びつけると。
f(t) = (1/2) [cos(t) + cos(3t)] cos(3t)
さらに展開すると、最終的に次のような形になります。
f(t) = (1/2) cos(t) cos(3t) + (1/2) cos(3t)²
ここで、cos(3t)²をさらに展開すると。
cos(3t)² = (1/2) [1 + cos(6t)]
最終的な展開式は次のようになります。
f(t) = (1/2) cos(t) cos(3t) + (1/4) [1 + cos(6t)]
aₙとbₙの計算方法
次に、aₙとbₙを求めるために、上記の関数をフーリエ級数展開の定義に従って、積分を使って計算します。具体的には、f(t)の各項を積分し、aₙとbₙを求めます。
例えば、aₙを求めるためには、f(t) = (1/2) cos(t) cos(3t) + (1/4) [1 + cos(6t)]をcos(n t)で掛けて積分を行います。
まとめ
フーリエ級数展開では、関数を三角関数の和に分解し、その係数aₙとbₙを求めます。今回の例では、f(t) = cos(t)cos(2t)cos(3t)を三角関数の和に展開し、フーリエ係数を求める方法を説明しました。このように、三角関数の積分を通じてフーリエ級数の係数を計算することができます。
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