統計学の回帰分析：相関係数と標準化の計算方法

統計学で回帰分析を行う際、変数間の関係性を理解することが重要です。特に、売り場面積と売上の関係を調べる場合、相関係数や標準化された値を使うことで、データを比較しやすくすることができます。この記事では、与えられた統計量を用いて、相関係数や回帰分析の式を求める方法を解説します。

問題の概要

まず、問題に与えられた統計量を整理します。

このデータを基に、次の問いに答えます。

相関係数は、共分散を両方の分散の平方根で割った値です。式は次のようになります。

相関係数 = 共分散 / (√(売り場面積の分散) × √(売り上げの分散))

これを数値に代入して計算します。

相関係数 = 120 / (√100 × √400) = 120 / (10 × 20) = 120 / 200 = 0.6

したがって、面積と売上の相関係数は0.6です。

標準化後の共分散は、標準化されたデータ同士の共分散です。標準化したデータの共分散は、単に相関係数に等しくなります。つまり、標準化された売上と面積の共分散は、相関係数と同じ0.6です。

標準化後の相関係数は、すでに求めた値と一致します。相関係数は、標準化したデータの共分散と同じなので、標準化された面積と売上の相関係数も0.6です。

回帰分析では、標準化された変数を使って次の回帰式を求めます。

標準化された売上 = β × 標準化された面積 + α

まず、回帰係数βは次のように求めます。

β = 相関係数 = 0.6

次に、切片αは標準化された変数の平均が0であるため、αは0になります。したがって、回帰分析の式は次のようになります。

標準化された売上 = 0.6 × 標準化された面積

このように、回帰分析における相関係数や標準化された値を使うことで、売り場面積と売上の関係を簡単に分析できます。相関係数は0.6であり、標準化後の共分散も相関係数と一致するため、標準化された回帰分析の式は「標準化された売上 = 0.6 × 標準化された面積」となります。