α+β＝2、αβ＝5/2からα³+β³を求める方法と公式の違い

質問では、式「α+β＝2」と「αβ＝5/2」を用いて、α³+β³を求める方法に関して、2つの異なるアプローチが紹介されています。それぞれの方法について、どのように解くべきかを理解することが大切です。この記事では、α³+β³を求める2つの異なる方法を解説し、公式を適切に活用する方法を紹介します。

まずは基本の公式を復習

α³+β³を求めるためには、まず基本的な公式を理解しておくことが重要です。α³+β³は、次のように因数分解することができます。

α³+β³ = (α+β)((α+β)² – 3αβ)

この公式を用いることで、α³+β³を簡単に計算することができます。この公式は、よく使われる展開式の一つです。

一方で、もう一つのアプローチとして、「(α+β)(α² – 2αβ + β²)」を使う方法があります。この式は、実際には「(α+β)² – 2αβ」の一部を使って展開されます。α³+β³と見た目は似ていますが、この方法で計算した場合、結果として異なる答えが出ることがあります。

「(α+β)(α² – 2αβ + β²)」の計算方法では、厳密に言うと、α³+β³の公式を正確に反映していないため、結果に差が生じることがあります。

模範解答では、「(α+β)³ – 3αβ(α+β)」を使用しています。この式は、α³+β³を計算するためのより正確な方法です。展開すると、次のようになります。

(α+β)³ = α³ + β³ + 3α²β + 3αβ²

この式から、3αβ(α+β)を引くことで、α³+β³を求めることができます。

では、実際に数値を使って計算してみましょう。まず、α+β＝2、αβ＝5/2という条件が与えられています。

α³+β³ = (α+β)((α+β)² – 3αβ) を使用すると。

α³+β³ = 2((2)² – 3×(5/2)) = 2(4 – 7.5) = 2(-3.5) = -7

したがって、α³+β³ = -7 となります。この結果が模範解答と一致します。

「α+β＝2」と「αβ＝5/2」の条件でα³+β³を求める方法は、公式を正しく理解して使うことが重要です。「(α+β)³ – 3αβ(α+β)」という公式を使うことで、正確な計算が可能となります。公式を適切に活用して、数学的な計算を効率的に行いましょう。