おうぎ形・直方体・円錐・半球の面積と体積の問題解説

今回の問題では、さまざまな図形の面積や体積を求める問題を解説します。問題を解くために必要な公式を理解し、計算過程を丁寧に説明していきます。

① 直径10cm 中心角72°のおうぎ形の面積

おうぎ形の面積は、次の式で求めることができます。

面積 = (中心角 / 360°) × π × r²

ここで、rは半径です。直径が10cmなので、半径r = 5cmです。

したがって、面積 = (72° / 360°) × π × 5² = (1/5) × π × 25 = 5π cm²です。

おうぎ形の弧の長さは、次の式で求めます。

弧の長さ = (中心角 / 360°) × 2πr

ここで、弧の長さは6πcmで、中心角は240°です。これを式に代入して、rを求めます。

6π = (240° / 360°) × 2πr

6π = (2/3) × 2πr

6π = (4π/3)r

r = (6π × 3) / 4π = 18 / 4 = 4.5cmです。

直方体の体積は、次の式で求めることができます。

体積 = 底面積 × 高さ

底面が正方形なので、底面積は1辺5cmの正方形の面積、つまり5 × 5 = 25cm²です。高さは12cmなので、体積は。

体積 = 25cm² × 12cm = 300cm³です。

円錐の体積は、次の式で求めます。

体積 = (1/3) × π × r² × h

ここで、rは底面の半径3cm、hは高さです。母線が6cmなので、円錐の高さを求めるためにピタゴラスの定理を使います。

母線² = 高さ² + 半径²

6² = h² + 3²

36 = h² + 9

h² = 27

h = √27 = 3√3 cmです。

したがって、円錐の体積は。

体積 = (1/3) × π × 3² × 3√3 = (1/3) × π × 9 × 3√3 = 9π√3 cm³です。

半球の体積は、次の式で求めます。

体積 = (2/3) × π × r³

直径が5cmなので、半径はr = 2.5cmです。体積は。

体積 = (2/3) × π × (2.5)³ = (2/3) × π × 15.625 = 10.4167π cm³です。

これらの問題では、各図形に適した公式を使って計算を行いました。おうぎ形、直方体、円錐、半球それぞれの問題において、公式をしっかりと覚えておくことが大切です。計算の過程を丁寧に理解することで、数学の問題がよりスムーズに解けるようになります。