中学3年生の数学でよく出題される平方根の問題。今回取り上げる問題は、√540/nが整数となるような自然数nを求める問題です。この記事では、問題を解くためのステップをわかりやすく解説していきます。
1. 問題の理解と解法の方針
まず、この問題を解くためには、√540がどのように分解できるかを確認することが重要です。√540をそのまま計算することは難しいですが、因数分解を用いることで解決できます。
√540の因数分解を行い、nが自然数となる条件を絞り込んでいきます。これにより、√540/nが整数となるnの候補が見えてきます。
2. √540の因数分解
まず、540を因数分解します。
540 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 と分解できます。これを平方根の形で表すと、√540 = √(2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5) となります。
このように、√540はある程度簡単な形に分解できることがわかります。次に、nを求めるための条件に進みましょう。
3. √540/nが整数になる条件
√540/nが整数になるためには、nが√540の中に含まれる因数でなければなりません。つまり、nは2×2、3×3、またはその組み合わせでなければなりません。
具体的には、nは次のような値が考えられます。
- 2×2 = 4
- 3×3 = 9
- 2×3 = 6
- 2×2×3×3 = 36
これらのnの値を使うことで、√540/nが整数となる条件を満たすnを見つけることができます。
4. すべての自然数nの候補を確認
これまでの手順を基に、√540/nが整数となる自然数nのすべての候補を確認してみましょう。
- n = 1: √540/1 = √540（整数ではない）
- n = 4: √540/4 = √135（整数ではない）
- n = 9: √540/9 = √60（整数ではない）
- n = 6: √540/6 = √90（整数ではない）
- n = 36: √540/36 = √15（整数ではない）
このように、すべてのnを試すことで、nが整数になる条件を洗い出すことができます。
5. まとめと結論
この記事で紹介したように、√540/nが整数となるnの候補を因数分解を用いて絞り込みましたが、実際に整数となるnを求めるには、他の条件や工夫を考慮する必要があります。
問題を解く過程を順を追って理解することで、同様の問題にも対応できるようになります。最終的な答えを得るためには、正確な計算と段階的なアプローチが大切です。
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