本記事では、関数y=x²とy=4/xのグラフの交点を求め、さらに特定の条件を満たす点を見つける方法を解説します。この問題では、y=4/x上にある点Bで、三角形OABの面積が3になるような点を求めることが目的です。具体的な解法をわかりやすく説明しますので、数学に興味がある方はぜひご覧ください。
y=x²とy=4/xの交点を求める
まず最初に、2つの関数y=x²とy=4/xのグラフが交わる点を求めましょう。交点を求めるためには、これら2つの関数の式を連立させます。すなわち、y=x²とy=4/xを同時に満たすxの値を見つけるのです。
連立方程式は以下のようになります。
x² = 4/x
これを解くことで交点のx座標を求めます。まず両辺にxを掛けて、
x³ = 4
次に、両辺を3乗根を取ると、
x = ∛4
これが交点のx座標です。したがって、交点Aのx座標は∛4となります。
△OABの面積の求め方
次に、△OABの面積を求める方法を考えます。Oは原点(0,0)ですので、△OABの面積は次の公式で求められます。
面積 = 1/2 × 底辺 × 高さ
この問題では、OABの底辺はx軸上の点OからAまでの距離、そして高さは点Bからx軸までの距離になります。点Aと点Bの座標を用いて、三角形の面積を計算します。
点Bの座標を求める
次に、y=4/x上にある点Bの座標を求めます。この点Bが△OABの面積を3にするような条件を満たす必要があります。具体的には、点Bの座標(x_B, y_B)において、面積が3となるようなx_Bの値を求めます。
面積が3であるという条件から、次の式を立てることができます。
1/2 × x_B × y_B = 3
ここで、y_Bはy=4/xの式に従って、y_B = 4/x_Bとなります。したがって、次のような式が成り立ちます。
1/2 × x_B × 4/x_B = 3
この式を解くと、x_Bが求まります。
具体的な計算例
先ほどの式を解いてみましょう。
2 × 4 = 3 × x_B
これを解くと、x_B = 8/3となります。
したがって、点Bのx座標は8/3であり、この点を代入すると、y_B = 4/(8/3) = 12/8 = 3/2となります。
まとめ
本記事では、y=x²とy=4/xの交点を求め、その交点を基に△OABの面積が3となる点Bの座標を求める方法を解説しました。交点の座標を求めるためには連立方程式を解き、面積の計算では三角形の公式を用いることが重要です。最後に、面積が3となる点Bの座標を具体的に求めました。数学の問題解決において、適切な公式と計算を正確に行うことが求められます。
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