数Iの問題解説: 等式 (4 + 2√3)X + (2 - 3√3)Y = 16 の有理数解を求める方法

数Iの問題である、等式 (4 + 2√3)X + (2 – 3√3)Y = 16 を満たす有理数 X と Y の値を求める方法を解説します。この問題は、方程式に含まれる有理数と無理数の項をうまく処理することが重要です。具体的な解法をステップバイステップで見ていきましょう。

1. 問題の整理

与えられた方程式は、(4 + 2√3)X + (2 – 3√3)Y = 16 です。ここで、X と Y は有理数であることが求められています。式の中には√3を含む項があるため、まずは無理数部分を整理する必要があります。

このような式で解を求めるには、無理数部分と有理数部分をそれぞれ独立に扱う方法が有効です。

まず、式を無理数部分と有理数部分に分けます。無理数部分は√3を含む項であり、有理数部分は√3を含まない項です。

方程式を整理すると、次のように分けられます。

無理数部分がゼロである必要があります。なぜなら、無理数は有理数の線形結合で表せないからです。したがって、無理数部分の係数がゼロになるように X と Y を選ぶ必要があります。

無理数部分をゼロにするためには、次の式を満たす必要があります。

2√3X – 3√3Y = 0

√3で両辺を割ると、次のような式が得られます。

2X – 3Y = 0

これを簡単にすると、X = (3/2)Y という関係が得られます。これが無理数部分がゼロになるための条件です。

次に、有理数部分を考えます。式は次のようになります。

4X + 2Y = 16

ここで、X = (3/2)Y を代入すると、次のような式が得られます。

4(3/2)Y + 2Y = 16

これを計算すると、6Y + 2Y = 16 となり、8Y = 16 です。これを解くと、Y = 2 となります。

したがって、Y = 2 のとき、X = (3/2)Y = (3/2) × 2 = 3 となります。

X = 3 および Y = 2 を元の式 (4 + 2√3)X + (2 – 3√3)Y = 16 に代入して確認します。

(4 + 2√3) × 3 + (2 – 3√3) × 2

これを計算すると、次のようになります。

12 + 6√3 + 4 – 6√3 = 16

無理数部分がキャンセルされ、16 = 16 となり、結果が一致します。したがって、X = 3 および Y = 2 が正しい解です。

与えられた方程式 (4 + 2√3)X + (2 – 3√3)Y = 16 を満たす有理数 X と Y の値は、X = 3 および Y = 2 です。無理数部分と有理数部分をうまく分け、無理数部分がゼロになるように解くことが解法のポイントでした。