積分の問題でよく出る形の一つに、三角関数の積分があります。今回の問題では、8∫sin²tcos(t)dtの範囲が0からπ/2で与えられています。この積分を解くためには、まず適切な三角関数の変形が必要です。この記事では、どのように積分を解くのか、その変形過程を解説します。
問題の積分式とその意味
与えられた積分式は、8∫sin²tcos(t)dt（範囲は0からπ/2）です。この積分式では、sin²tとcos(t)の積が含まれています。このような積を解くためには、三角関数の恒等式や置換積分法を使うことが一般的です。
まず、sin²tを別の形に変形して、積分を簡単にする方法を考えます。
積分の変形方法：三角関数の恒等式
sin²tを簡単にするために、三角関数の恒等式を使います。具体的には、sin²t = (1 – cos(2t))/2という恒等式を使います。この式を積分式に代入すると、次のようになります。
8∫sin²tcos(t)dt = 8∫(1 – cos(2t))/2 * cos(t) dt
この式において、(1 – cos(2t))/2の形に変形することで、積分を簡単に計算できるようになります。
置換積分を用いた解法
次に、置換積分法を使用して、積分をさらに簡単にします。cos(2t)を含む項があるため、適切な置換を行います。置換積分では、cos(t)の積分を行いやすくするため、u = sin(t)とおくと、du = cos(t)dtになります。
これにより、積分は次のように変形できます。
8∫(1 – cos(2t))/2 * cos(t) dt = 8∫(1 – 2u²)/2 du
この変形により、積分はuの2次式となり、計算が簡単になります。
積分結果の導出
置換積分後、uを使って積分を行います。積分後、元の変数tに戻して、積分結果を求めることができます。最終的に、解答の式は次のようになります。
8[1/3・sin³t]（範囲0からπ/2）
ここで、定積分の範囲0からπ/2を代入することで、最終的な積分値を求めることができます。
まとめ：積分の変形過程と解法
積分式8∫sin²tcos(t)dtの解法では、三角関数の恒等式を使って積分式を簡単にし、その後置換積分法を使って積分を解きました。このような変形と積分法を駆使することで、複雑に見える積分問題も効率よく解くことができます。
この問題のように、積分問題では適切な三角関数の恒等式や置換法を使用することが解法の鍵となります。理解を深めるために、さまざまな積分問題に挑戦してみましょう。
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