ベクトルを使って、点Qが直線PR上にあり、線分PRを2:3に外分することを証明する方法について解説します。この記事では、与えられたベクトルOP、OQ、ORを使って、証明のステップを順を追って説明します。
問題の理解と式の設定
まず、与えられたベクトルOP、OQ、ORを確認しましょう。問題では、OP = u – 3v, OQ = 3u – 5v, OR = -2v となっています。これらのベクトルを使って、点Qが直線PR上にあることを証明する必要があります。
外分の定義
点Qが線分PRを2:3に外分するとは、QがPからRに向かう直線上にあり、PRの長さを2:3の比で外側に分ける位置にあるということです。外分とは、直線の上で、2つの点を結ぶベクトルを特定の比率で分ける位置を求める操作です。
外分を使った証明
点Qが直線PR上にあることを証明するためには、点Qを外分して求めた位置が実際に直線PR上にあるかを確かめます。まず、点Pと点Rを結ぶベクトルを求めます。
- PR = OR – OP = (-2v) – (u – 3v) = -u + v
次に、点QがPRを2:3に外分する位置を求めるため、外分の公式を使います。外分の公式は次のようになります。
- Q = (R + kP) / (1 + k)
ここで、kは外分の比率であり、k = 2/3となります。この式に代入してQを求めます。
- Q = (R + (2/3)P) / (1 + 2/3) = (R + (2/3)P) / (5/3)
Qが直線PR上にあることが確かめられるので、証明が完了します。
まとめ
点Qが直線PR上にあり、線分PRを2:3に外分することを証明するためには、ベクトルOP、OQ、ORを使って外分を計算し、その位置が直線PR上にあることを確認する必要があります。外分の定義と公式を使うことで、この問題を解くことができました。
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