群Gの同値関係と同値類についての解説

群Gとその部分群Hにおける同値関係に関する問題を解説します。この問題では、G上の同値関係が与えられたとき、aを含む同値類がどのようにaHとして表されるのかを示すことが求められています。数学において、同値関係を使った議論では、同値類や包含の理解が重要です。

同値関係と同値類

まず、群Gと部分群Hが与えられているとき、a~b ⇔ a^(-1)b ∈ H という同値関係が定義されています。これは、群Gの元aとbが同値であるとは、aとbの差であるa^(-1)bが部分群Hに含まれることを意味します。

この同値関係に基づいて、aを含む同値類[a]は、すべてのb∈Gについて、a~bとなるようなbの集合を指します。具体的には、[a] = {b ∈ G | a^(-1)b ∈ H} という形で表されます。この集合は、aとHの元との積のようなものとして理解できます。

「含む」という表現について

質問者が指摘している通り、「aを含む同値類」という表現は少し不適切に感じるかもしれません。実際、aを含む同値類は[a]として表現されるため、「aを含む」という表現ではなく、「aに対応する同値類」や「aの同値類」という表現がより適切です。

数学では、同値関係によって複数の同値類が形成されることがありますが、それぞれの同値類はその元によって決まります。したがって、aとbが同値であれば[a] = [b]となり、aとbに対応する同値類は同じになります。

同値類の表現：aHとしての表現

問題で示すべきは、aを含む同値類[a]がaHとして表されることです。これは、aと部分群Hの元との積によってaを含む同値類が形成されるという理解に基づいています。

具体的には、aH = {ah | h ∈ H} という形で、部分群Hの各元hとaとの積を取ることにより、aHが同値類[a]を表現することがわかります。これによって、同値関係を満たす元たちがどのように一つの集合としてまとまるかが明確になります。

まとめ

この問題では、群Gと部分群Hにおける同値関係の定義に基づき、aを含む同値類がaHとして表されることを示しました。また、同値類の表現に関して、数学的に適切な表現を選ぶ重要性についても理解できたと思います。数学では正確な用語の使い方が重要ですので、同値類の概念をしっかりと理解し、正しい表現を使い分けることが大切です。