この問題では、式 a^1/53 + b^1/53 + c^1/53 + d^1/53 が有理数になるための条件を求め、その必要十分性を証明することが求められています。このような問題は、有理数の性質や指数法則、代数方程式の解法を理解していることが前提です。
1. 問題の理解
まず、与えられた式は a^1/53 + b^1/53 + c^1/53 + d^1/53 です。この式が有理数となるためには、a, b, c, d が有理数であったとしても、その形で有理数になる条件が必要です。問題を解くために、次の点に着目します。
- それぞれの項の形は a^(1/53) のように、53乗根を取った形である。
- この形が有理数になるためには、a, b, c, d が特定の条件を満たす必要がある。
2. 53乗根と有理数
まず、一般的な有理数の性質について確認します。もし x が有理数であれば、x^n（nが正の整数）も有理数です。逆に、x が有理数であれば、x^(1/n) が有理数であるためには、x が n のべき乗である必要があります。ここでは、53乗根を考えているため、a, b, c, d がそれぞれ53のべき乗であれば、各項の53乗根は有理数になることがわかります。
具体的には、a, b, c, d が以下のように表される必要があります。
- a = p^53
- b = q^53
- c = r^53
- d = s^53
ここで、p, q, r, s は有理数です。このようにすれば、a^1/53, b^1/53, c^1/53, d^1/53 はそれぞれ有理数になります。
3. 必要十分性の証明
次に、この条件が必要十分であることを示します。もし a^1/53 + b^1/53 + c^1/53 + d^1/53 が有理数であれば、それぞれの項が有理数であることが必要です。なぜなら、53乗根を取る操作は有理数を有理数に変換するからです。逆に、a, b, c, d がそれぞれ53乗根で有理数になる場合、全ての項が有理数であるため、式全体も有理数となります。
4. まとめ
与えられた式 a^1/53 + b^1/53 + c^1/53 + d^1/53 が有理数になるためには、a, b, c, d がそれぞれ53のべき乗であることが必要です。このように、各項が有理数になるためには、53乗根を取る前の値が有理数の53乗である必要があり、この条件が十分であり、また必要でもあります。
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