Im(z)の積分を求める方法：Cを-1と1で結ぶ線分の場合

複素関数の積分に関する問題で、Cを-1と1を結ぶ線分とした場合、Im(z)の積分を求める方法について解説します。この問題を解くためには、複素数の積分の基本を理解し、Im(z)がどのように関係するのかを明確にすることが重要です。

1. 複素数の積分とIm(z)

複素数zは、実部と虚部で表されます。z = x + iy という形で、xは実部、yは虚部を意味します。Im(z)はzの虚部であるyを表します。複素関数の積分では、複素平面上のある曲線に沿って関数を積分します。

この問題では、Cを-1と1を結ぶ線分として、その領域内でIm(z)の積分を求めます。具体的には、Cを-1から1に向けて移動する直線に沿った積分です。

まず、積分区間を-1から1に設定します。この場合、zは実数軸上を動いており、Im(z)は常に0になります。

積分の式は以下のように設定できます。

∫(C) Im(z) dz

ここでCは、-1から1に至る線分で、Im(z)はzの虚部です。この場合、zは実数なので、Im(z) = 0となります。

この積分を実行すると、Im(z)が常に0であるため、積分の結果も0になります。すなわち、次のように計算できます。

∫(C) Im(z) dz = 0

したがって、Cを-1から1に結ぶ線分に沿ったIm(z)の積分は0となります。

この結果からわかるように、積分の対象となる関数がIm(z)であり、zが実数軸上を動いている場合、積分結果は常に0になります。これは、虚部がゼロであるため、積分の結果がゼロになるという特性です。

同様の積分問題では、関数の定義域や積分の経路によって結果が変わることもあるため、積分対象の関数がどのように変化するかをしっかり確認することが重要です。

Cを-1と1で結ぶ線分に沿ったIm(z)の積分は、Im(z)が常にゼロであるため、積分結果は0になります。このような問題を解く際には、積分の範囲と関数の定義をしっかり理解することが重要です。