スカラー場のベクトル演算において、∇ (∇ S) は「ラプラシアン」と呼ばれ、特定のスカラー場の平面での曲率を表します。今回の問題では、スカラー場 S = 2x^3 ・ y^2 ・ z^4 のラプラシアンを求める方法を解説します。
1. スカラー場とラプラシアンの定義
まず、スカラー場とは、各点にスカラー値が割り当てられる場のことです。スカラー場 S(x, y, z) が与えられた場合、∇S はその勾配ベクトルを表し、各方向への変化率を示します。一方、ラプラシアン ∇ (∇S) は、この勾配ベクトルの発散を表す演算です。
ラプラシアンは、3次元空間では次のように計算されます。
∇²S = ∂²S/∂x² + ∂²S/∂y² + ∂²S/∂z²
2. スカラー場 S = 2x^3 ・ y^2 ・ z^4 のラプラシアンを求める
与えられたスカラー場 S(x, y, z) = 2x^3 ・ y^2 ・ z^4 に対して、ラプラシアンを計算します。ラプラシアンを求めるには、まずそれぞれの変数 x, y, z に関する2階偏微分を計算します。
まず、xについて2階偏微分を計算します。
∂S/∂x = 6x^2 ・ y^2 ・ z^4
∂²S/∂x² = 12x ・ y^2 ・ z^4
次に、yについて2階偏微分を計算します。
∂S/∂y = 4x^3 ・ y ・ z^4
∂²S/∂y² = 4x^3 ・ z^4
最後に、zについて2階偏微分を計算します。
∂S/∂z = 8x^3 ・ y^2 ・ z³
∂²S/∂z² = 24x^3 ・ y^2 ・ z²
3. ラプラシアンの計算
それぞれの2階偏微分を足し合わせると、ラプラシアンが求まります。
∇²S = 12x ・ y^2 ・ z^4 + 4x^3 ・ z^4 + 24x^3 ・ y^2 ・ z²
4. 結果の解釈
この式がスカラー場 S = 2x^3 ・ y^2 ・ z^4 のラプラシアンです。ラプラシアンは、スカラー場が各点でどれだけ曲がっているか、または拡がっているかを示すため、物理学や工学の問題で重要な役割を果たします。
5. まとめ
スカラー場のラプラシアン ∇ (∇S) は、各変数に対する2階の偏微分の合計です。与えられたスカラー場 S = 2x^3 ・ y^2 ・ z^4 に対して、ラプラシアンは 12x ・ y^2 ・ z^4 + 4x^3 ・ z^4 + 24x^3 ・ y^2 ・ z² となります。この方法を理解しておくと、他のスカラー場のラプラシアンも計算できるようになります。
コメント