微分方程式の解法：x^2(y-xy’)=yy’^2 の解き方

大学数学

2025.06.19

微分方程式を解くことは数学の中でも重要なスキルの一つですが、解法を理解することで問題解決の力が養われます。この記事では、微分方程式「x^2(y-xy’)=yy’^2」の解法をステップごとに解説します。

微分方程式の基本的な理解

微分方程式とは、関数とその導関数を含む方程式です。この問題のように、変数とその微分が含まれる式を解くことは、関数の性質を理解する上で非常に重要です。微分方程式を解くためには、まず式を整理し、適切な変形を行うことが必要です。

この式では、y’（yの導関数）が含まれているため、yを求めるために導関数の取り扱いが鍵となります。

問題は次のように与えられています：x^2(y – xy’) = yy’^2。まず、この式を展開し、微分方程式の形に持っていきます。

まず、左辺を展開します。x^2(y – xy’) = x^2y – x^3y’ となります。次に、右辺はそのままで、yy’^2となります。このように式を展開し、微分方程式を簡単化していきます。

微分方程式を解く際に良く使用される方法の一つが変数分離法です。この方法では、yとxに関する項をそれぞれ分けて、yの関数とxの関数を積分して解きます。

今回は、この方法を適用することで、微分方程式を解くための準備が整います。式の左右でyとxを分け、積分を行うことで、最終的な解を求めることができます。

式を変形した後、右辺と左辺のそれぞれの項に対して積分を行います。これにより、xとyに関する独立した式を得ることができます。

計算を進めると、最終的な解が得られるはずです。このように微分方程式を解くためには、計算過程を丁寧に進めることが重要です。

微分方程式「x^2(y – xy’) = yy’^2」を解くためには、まず式を整理し、変数分離法を適用して解いていきます。微分方程式の解法には様々な方法がありますが、重要なのは問題の構造を理解し、適切な解法を選ぶことです。この手法をマスターすれば、他の微分方程式にも対応できるようになります。