微分を使ってArc sinx + Arc cosx = π/2 を示す方法

「Arc sinx + Arc cosx = π/2」という等式は、三角関数における興味深い性質を示しています。この等式が成り立つことを、微分を用いて示す方法を解説します。微分を使うことで、等式の成立を確認することができます。本記事では、この問題の解き方をわかりやすく解説します。

Arc sinxとArc cosxの定義

まず、Arc sinx（逆正弦関数）とArc cosx（逆余弦関数）の定義について確認しましょう。Arc sinxは、正弦関数がxとなる角度θを返し、Arc cosxは、余弦関数がxとなる角度θを返します。

これらの関数は、xが-1から1の範囲において定義されています。つまり、Arc sinxとArc cosxは、三角形における角度を求める関数として機能します。

微分による示し方

「Arc sinx + Arc cosx = π/2」を示すために、両辺をxで微分します。まず、左辺のArc sinxとArc cosxを個別に微分します。

Arc sinxの微分は、d/dx(Arc sinx) = 1/√(1 – x^2)です。また、Arc cosxの微分は、d/dx(Arc cosx) = -1/√(1 – x^2)です。これらを加算すると、次のようになります。

d/dx(Arc sinx + Arc cosx) = 1/√(1 – x^2) + (-1/√(1 – x^2)) = 0

微分結果の解釈

微分した結果、Arc sinx + Arc cosxの導関数は0となります。つまり、左辺の式が定数であることがわかります。この定数の値を求めるためには、x = 0のときにArc sinx + Arc cosxの値を評価します。

x = 0のとき、Arc sin0 = 0、Arc cos0 = π/2です。したがって、Arc sinx + Arc cosx = π/2となります。これにより、Arc sinx + Arc cosxが常にπ/2であることが示されます。

まとめ

「Arc sinx + Arc cosx = π/2」という等式は、微分を用いて示すことができます。微分した結果、左辺の導関数が0であり、定数であることがわかりました。x = 0のときに式の値がπ/2であることを確認することで、Arc sinx + Arc cosxが常にπ/2であることが証明されます。