素数 p を使った二次方程式の解法について

この問題では、与えられた二次方程式「px^2 + (9 – p^3)x – 3p = 0」の整数解を求めるために、p を素数としてどのように解くかを考えます。整数解を得るためには、判別式の条件を利用していきます。

1. 二次方程式の形式を確認

与えられた二次方程式は「px^2 + (9 – p^3)x – 3p = 0」であり、これは一般的な二次方程式の形「Ax^2 + Bx + C = 0」に対応します。この場合、A = p, B = (9 – p^3), C = -3p となります。

二次方程式の解が整数解を持つための条件は、判別式 D = B^2 – 4AC が完全な平方数であることです。ここで、A = p, B = (9 – p^3), C = -3p ですので、判別式 D は以下のように計算できます。

D = (9 – p^3)^2 – 4(p)(-3p) = (9 – p^3)^2 + 12p^2

判別式を展開すると次のようになります。

D = (9 – p^3)^2 + 12p^2 = 81 – 18p^3 + p^6 + 12p^2

ここで、D が完全な平方数である必要があるため、D がある整数の二乗になる p の値を求める必要があります。

p を素数として様々な値を試し、判別式 D が完全な平方数になる条件を探します。p = 2, 3, 5, 7 などの小さい素数を試していくと、適切な値が見つかるはずです。

この問題を解くためには、与えられた二次方程式の判別式を使って、整数解が得られる条件を満たす p を素数から選び、適切な解を求めることが求められます。判別式が完全な平方数になる p の値を特定し、解を導くことができます。