直積A×Bにおける元が等しいとき、AとBの元が等しいことの関係

直積A×Bにおける2つの元が等しいとき、それぞれの集合AとBの元が等しいかどうかは重要な問題です。この記事では、直積集合における元の等しい関係が、AとBの元の等しい関係とどのように関連しているのかを解説します。

直積A×Bとは？
直積A×Bの元が等しいときの意味
直積の元が等しいとき、AとBの元が等しいか？
逆にAとBの元が等しいとき、直積の元が等しいか？
まとめ

直積A×Bとは？

まずは、直積集合A×Bについて簡単に理解しておきましょう。集合Aと集合Bがあるとき、その直積A×Bは、Aの元とBの元をペアとして組み合わせた集合です。例えば、A = {a1, a2}、B = {b1, b2} のとき、直積A×Bは次のような元の組み合わせからなります。

A×B = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2)}

直積A×Bの元が等しいときの意味

直積A×Bの2つの元が等しいということは、それぞれの元が同じペアであることを意味します。具体的に、(a1, b1) と (a2, b2) が等しいためには、a1 = a2 かつ b1 = b2 である必要があります。つまり、直積A×Bにおける元の等しい関係は、Aの元とBの元がそれぞれ等しいことを意味しています。

この関係を使って、直積集合A×Bの元が等しい場合に、それぞれの集合AとBの元が等しいかを考えることができます。

直積の元が等しいとき、AとBの元が等しいか？

直積A×Bの2つの元が等しいとき、その条件は、Aの元が等しく、Bの元も等しいことを要求します。例えば、(a1, b1) = (a2, b2) の場合、a1 = a2 および b1 = b2 である必要があります。

したがって、直積A×Bにおける元が等しいとき、必ずAの元とBの元がそれぞれ等しいことになります。この点で、直積A×Bの元の等しい関係とAおよびBの元の等しい関係は同値であると言えます。

逆にAとBの元が等しいとき、直積の元が等しいか？

Aの元a1, a2 とBの元b1, b2がそれぞれ等しいとき、それらの直積A×Bの元は等しいのでしょうか？Aの元a1 = a2 およびBの元b1 = b2であれば、直積の元は (a1, b1) = (a2, b2) という形になります。よって、AとBの元が等しいとき、直積A×Bの元も等しくなります。