楕円の方程式を求める問題では、特に焦点や軸の長さに関する情報を使って、式を導くことがよくあります。今回の問題では、2つの焦点を共有し、短軸の長さが2aの楕円の方程式を求める方法について詳しく解説します。具体的な手順を順を追って説明しますので、理解を深めることができます。
楕円の基本方程式と焦点の関係
まず、楕円の一般的な方程式は次のように表されます。
(x²/a²) + (y²/b²) = 1
ここで、aは長軸の半分、bは短軸の半分を示します。焦点はx軸上にあり、その距離はcとなり、a, b, cは次の関係を持ちます。
c² = a² − b²
この式は、楕円の形を決定するための基本的な関係式です。
与えられた条件を整理する
問題では、与えられた条件が「短軸の長さが2a」というものです。これに基づき、短軸の長さbはaの半分ではなく、aと同じ長さであることがわかります。
したがって、短軸の長さがaのため、b = a となります。これを使って、焦点の位置を考慮するためにcの値を求める必要があります。
焦点の距離cの計算
短軸の長さbがaに等しいため、cの値を求めるための式は次のように変化します。
c² = a² − a² = 0
これにより、c = 0 となり、焦点が楕円の中心に位置することがわかります。つまり、この楕円は円に近い形をしています。
楕円の新しい方程式の導出
焦点が中心に位置することがわかったので、次に新しい方程式を導きます。与えられた問題では、(x + y)² − 2xy という形が必要となるため、これを用いて整理を行います。具体的に計算を進めると、次のような式に変換されます。
x²/(2a² − b²) + y²/a² = 1
まとめ：問題の解法のポイント
この問題を解くためには、まず楕円の基本的な方程式と焦点の関係を理解し、その後、与えられた条件（短軸の長さが2a）に基づいてb = aであることを確認しました。焦点の距離が0であることがわかり、最終的に求められた方程式は x²/(2a² − b²) + y²/a² = 1 となります。計算の過程と、焦点が楕円の中心に位置する理由をしっかり理解することが重要でした。
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