直線 7x + y = -2 に垂直な接線の方程式と接点の座標を求める方法

数Ⅱの問題で、円の方程式 182x^2 + y^2 = 50 に接する直線が、直線 7x + y = -2 に垂直であるとき、その接線の方程式と接点の座標を求める方法について解説します。まず、この問題に取り組むためのステップを順を追って説明します。

問題の理解と条件の整理

問題の中で与えられている円の方程式は 182x^2 + y^2 = 50 です。これを基に、接線の方程式を求めるために、まず円の中心と半径を求める必要があります。接線が直線 7x + y = -2 に垂直であるという条件も重要な情報です。

円の方程式 182x^2 + y^2 = 50 は、標準形に変形できます。まず、x^2 の係数を1にするために、両辺を182で割ります。これにより、円の方程式は x^2 + (y^2 / 182) = 50 / 182 となり、これを基に円の半径を求めます。

接線が直線 7x + y = -2 に垂直であるという条件を利用します。直線 7x + y = -2 の傾きは、y = -7x – 2 として、傾き m = -7 となります。接線がこの直線に垂直であるため、接線の傾きは m’ = 1/7 です。この情報を基に接線の方程式を求めることができます。

接点の座標を求めるには、接線が円と1点で接することを利用します。接線の方程式を求めるためには、接点の座標を代入し、円との交点が1点であることを確認します。その後、接点の座標と接線の方程式を求めることができます。

直線 7x + y = -2 に垂直な接線の方程式と接点の座標を求める問題では、円の方程式から中心と半径を求め、直線の傾きとの関係を利用して接線の傾きを求めます。その後、接点の座標を求めて接線の方程式を導き出します。これにより、問題を解決することができます。