三角関数の問題解法：tan^2θ + ktanθ + 3の最小値とθの求め方

三角関数の問題において、与えられた関数を元に、定数kの値を求めたり、最小値を求める方法、さらにθの値を求める方法について解説します。特にtan^2θ + ktanθ + 3のような形の関数におけるkやθに関する問いについて、ステップごとに説明します。

1. kの値を求める

与えられた関数y = tan^2θ + ktanθ + 3において、θ = π/4のときy = 6 + 2√2であることがわかっています。この条件をもとに、kの値を求めていきます。

まず、θ = π/4のときのtanθの値は1です。この値を代入し、y = 6 + 2√2となるように式を立てます。

1 + k + 3 = 6 + 2√2 となり、kの値を求めると、k = 2 + 2√2 となります。

次に、y = tan^2θ + ktanθ + 3の最小値を求めます。これは平方完成などを利用して、yの値が最小になるθを求める問題です。

y = tan^2θ + (2 + 2√2)tanθ + 3という形で整理された後、最小値を求めるために微分を使ったり、平方完成を行ったりする方法が一般的です。最終的にyの最小値は -2√2 であることがわかります。

yを最小とするθの値をαとしたとき、まずはyを微分して最小点を見つけます。その後、tanαとtan2αの値を求めます。

微分の結果、tanα = -1/(√2) となり、tan2αも求めることができます。

その後、αの値は逆関数を使って求め、最終的にαの値が求まります。

このような三角関数の問題を解く際には、まず与えられた式を整理し、条件を基に計算を進めます。特に、微分や平方完成を用いて最小値を求めることが一般的です。

また、最小値を求める際には、θがどのように変化するかをしっかりと理解することが重要です。最小値のθを求めるときは、微分を活用することで効率的に解くことができます。

三角関数の問題において、定数kの値を求める方法、yの最小値を求める方法、最小値をとるθの値を求める方法を順番に解説しました。微分や平方完成を使って最小値を効率的に求めることができるので、しっかりと理解しておきましょう。