確率の問題：袋から玉を取り出すときの確率と期待値の計算

この問題では、袋の中に赤玉、青玉、黄玉が入っており、2回の取り出しの確率を求めるものです。まずは問題を理解し、順を追って解いていきましょう。

問題の設定

袋の中には次の玉が入っています。

この袋から1個の玉を取り出し、袋に戻さずにもう1個の玉を取り出します。

まず、1個目に赤玉を引く確率は、赤玉が袋に3個あるので、全体の6個の玉のうち3個が赤玉です。したがって、1個目に赤玉が引かれる確率は。

P(赤玉) = 3/6 = 1/2

次に、2個目に青玉を引く確率ですが、1個目に赤玉を引いた後、袋に残っているのは青玉2個と他の玉です。したがって、袋に残る玉は5個です。

P(青玉 | 赤玉を引いた後) = 2/5

したがって、1個目が赤玉で2個目が青玉である確率は。

P(赤玉, 青玉) = (1/2) × (2/5) = 2/10 = 1/5

問題 (2) は条件付き確率を求める問題です。条件付き確率は次のように求めます。

P(赤玉 | 青玉) = P(赤玉, 青玉) / P(青玉)

P(青玉) は2個の青玉が6個の玉の中に含まれるので。

P(青玉) = 2/6 = 1/3

したがって、1個目が赤玉で2個目が青玉である確率は、前述の通り 1/5 でした。

したがって、条件付き確率は。

P(赤玉 | 青玉) = (1/5) / (1/3) = 3/5

次に、期待値を求めます。得点は次のようになります。

期待値は、それぞれの得点に確率を掛けたものを足し合わせたものです。まず、各玉の取り出しの確率を求めましょう。

P(赤玉) = 3/6 = 1/2

P(青玉) = 2/6 = 1/3

P(黄玉) = 1/6

次に、期待値を求める式は次のようになります。

期待値 = (30 × 1/2) + (20 × 1/3) + (10 × 1/6)

期待値 = 15 + 6.67 + 1.67 = 23.34

したがって、2個の玉を取り出すときの得点の期待値は、約 23.34 点となります。

問題 (1) と (2) は確率の基本的な考え方に基づいて解くことができました。問題 (3) では、確率を用いて得点の期待値を求めました。いずれも確率の基本的な計算方法に従って進めました。確率の問題はしっかりとした理解と計算が必要ですが、基本を押さえれば解けるようになります。