√6が無理数であることを利用した√2+√3が無理数であることの証明方法

中学3年生の数学の証明問題では、「√6が無理数であることを利用して√2+√3が無理数であることを証明しなさい」という問題が出題されています。この記事では、この問題をどのように解くかをステップバイステップで解説します。

無理数とは？

まず、無理数とは、整数や有理数では表すことができない数のことです。代表的な無理数には、√2やπが挙げられます。これらの数は、有限小数や循環小数にはならず、無限に続く非周期的な小数になります。問題の中で使われる√6も無理数です。

証明のアプローチ

この問題を解くためのアプローチは、逆に考えて、もし√2 + √3が有理数だと仮定した場合に矛盾が生じることを示す方法です。仮定法による証明を使います。まず、√2 + √3が有理数だと仮定し、その場合にどうなるかを見ていきます。

証明のステップ

1. √2 + √3が有理数だと仮定します。
2. その結果、√2 + √3 = r（rは有理数）と表せると仮定します。
3. 両辺から√2を引きます。すると、√3 = r – √2となります。
4. 右辺は有理数と無理数の差なので、√3が無理数であることに反することがわかります。この矛盾から、最初の仮定が間違っていることがわかります。

√2 + √3が無理数であることの結論

したがって、√2 + √3は有理数であるという仮定が間違いであり、実際には√2 + √3は無理数であることが証明されました。これにより、問題の証明が完了します。

まとめ

√6が無理数であることを利用して、√2 + √3が無理数であることを証明する方法は、仮定法による証明です。最初に有理数だと仮定し、矛盾を見つけることで無理数であることを示しました。このように、数学的な証明では、矛盾を導く方法がよく使われます。