f(x)/g(x)とf(x)’/g(x)’の違いとは？微分のルールについて解説

微分を学んでいく中で、よく出てくる問題の一つに「{f(x)/g(x)}’とf(x)’/g(x)’は同じか？」という疑問があります。この問題に対して、微分のルールを理解していくことが非常に重要です。ここでは、この二つの式の違いについて詳しく解説します。

1. {f(x)/g(x)}’の計算方法

まず、「{f(x)/g(x)}’」という表現は、積の商の微分法則を使って計算します。この式を微分するためには、商の微分法則を適用しなければなりません。商の微分法則とは、以下のように表されます。

({f(x)/g(x)})’ = (f'(x)g(x) – f(x)g'(x)) / (g(x))^2

2. f(x)’/g(x)’について

次に、「f(x)’/g(x)’」の計算方法を考えます。この式は、単純にf(x)の微分とg(x)の微分をそれぞれ求め、その結果を割り算する形になります。具体的には、次のように計算します。

f(x)’/g(x)’ = f'(x) / g'(x)

3. f(x)/g(x)とf(x)’/g(x)’の違い

これらの式の違いは、微分の方法とその計算の仕方にあります。「{f(x)/g(x)}’」は商の微分法則を使い、両方の関数を一度に微分するのに対して、「f(x)’/g(x)’」はそれぞれの関数を別々に微分してから割り算を行います。

このため、{f(x)/g(x)}’の方がf(x)とg(x)が複雑な関数であっても、商の微分法則を適用することで簡単に求めることができます。

4. 実例で理解する

実際に具体例を使って、この二つの式を計算してみましょう。

例えば、f(x) = x^2、g(x) = x+1の場合を考えてみます。

• {f(x)/g(x)}’ = ((2x)(x+1) – (x^2)(1)) / (x+1)^2 = (2x^2 + 2x – x^2) / (x+1)^2 = (x^2 + 2x) / (x+1)^2
• f(x)’/g(x)’ = (2x) / (1) = 2x

このように、同じ関数を使っても、計算結果は異なります。

まとめ

「{f(x)/g(x)}’」と「f(x)’/g(x)’」は、微分法則の違いにより異なる計算方法を取ります。前者は商の微分法則を適用し、後者は各関数を独立して微分してから割り算を行うという違いがあります。どちらを使用するかは、問題の設定や関数の形によりますが、商の微分法則を使う方がより一般的で、複雑な関数にも対応できます。