二次関数をy=(x-p)²+qの形に変形する方法

高1の数学の問題で、与えられた二次関数を「y＝(x－p)²＋q」の形に変形する方法について解説します。これは「平方完成」と呼ばれる手法で、二次関数の形を変えるために非常に重要です。以下に、具体的な問題とその解法を示します。

問題1: y = x² – 8x + 9

まず、与えられた式 y = x² – 8x + 9 の平方完成を行います。

1. x² – 8x の部分を平方完成します。x² – 8x は (x – 4)² – 16 です。よって、式は次のようになります。

y = (x – 4)² – 16 + 9

2. 定数をまとめると、y = (x – 4)² – 7 となります。よって、答えは y = (x – 4)² – 7 です。

次に、y = x² + 6x – 2 の平方完成を行います。

1. x² + 6x の部分を平方完成します。x² + 6x は (x + 3)² – 9 です。よって、式は次のようになります。

y = (x + 3)² – 9 – 2

2. 定数をまとめると、y = (x + 3)² – 11 となります。よって、答えは y = (x + 3)² – 11 です。

次に、y = x² + 10x – 5 の平方完成を行います。

1. x² + 10x の部分を平方完成します。x² + 10x は (x + 5)² – 25 です。よって、式は次のようになります。

y = (x + 5)² – 25 – 5

2. 定数をまとめると、y = (x + 5)² – 30 となります。よって、答えは y = (x + 5)² – 30 です。

最後に、y = x² – 4x – 4 の平方完成を行います。

1. x² – 4x の部分を平方完成します。x² – 4x は (x – 2)² – 4 です。よって、式は次のようになります。

y = (x – 2)² – 4 – 4

2. 定数をまとめると、y = (x – 2)² – 8 となります。よって、答えは y = (x – 2)² – 8 です。

以上のように、与えられた二次関数を「y＝(x－p)²＋q」の形に変形するためには、平方完成を使って定数項を調整する必要があります。平方完成は二次関数の基本的な変形方法の一つであり、グラフの変化を理解する上で重要な技術です。問題を解くことで、この方法をより深く理解できるでしょう。