ひし形ABCDにおける三角形APQの面積と内積の計算方法

この問題では、1辺の長さが1で∠A=60°のひし形ABCDを考え、辺BC上の点P、辺CD上の点Qをとり、三角形APQの面積を求める問題です。さらに、ベクトルを用いて内積の計算や、面積の最小値を求める方法について解説します。

⑴ 三角形APQの面積を求める

ひし形ABCDの辺の長さが1で、∠A=60°であることを利用して、三角形APQの面積を求めます。まず、BP=s、DQ=tとしたとき、三角形APQの面積はベクトルの外積を用いて計算できます。

面積の計算式は、以下のようになります：
面積 = (1/2) * |AP × AQ| = √3/4 – √3/4 * st です。

次に、三角形APQにおけるベクトルAPとベクトルAQの内積を求めます。内積の計算は、ベクトルの長さとそれらの間の角度に基づいて行います。

ベクトルAPとベクトルAQの内積は、s+t+st/2+1/2 で表されます。この計算は、ベクトルの成分を用いて内積を求めた結果です。

次に、条件を満たしながら三角形APQの面積が最小になる点を求めます。具体的には、2点PとQがAP×AQ=2を満たしつつ、辺BCと辺CD上を動く場合、面積の最小値を求めます。

このとき、三角形APQの面積の最小値は√21-5√3/2 であり、そのときのsとtの値はs=t=√7-2となります。

この問題を解くためには、ベクトルの外積と内積を用いて面積や内積を計算する方法を学びました。また、条件に基づいて最小値を求める過程も含まれており、実際の問題解決においてベクトルを使った計算がいかに有効であるかを確認することができました。