2点A(-√2-√6, √2 - √6), B(√2 + √6, √2 - √6) と原点についての問題の解法

この問題では、2点AとB、および原点Oに関連する幾何学的な問題を解きます。特に、∠AOBの角度を求め、また、直線上の2点PとQが特定の条件を満たす場合に線分PQの長さを求める問題です。

問題1: ∠AOBを求める

まず、∠AOBを求めるためにはベクトルを用いて解く方法が有効です。AとBの位置が与えられており、原点Oとの角度を求める問題です。

点Aと点Bの座標がそれぞれA(-√2 – √6, √2 – √6)、B(√2 + √6, √2 – √6)です。これらの点からベクトル→OAと→OBを求めます。

→OA = (-√2 – √6, √2 – √6) そして →OB = (√2 + √6, √2 – √6)

ベクトル→OAと→OBの内積を求め、内積から角度を求めます。内積の公式に基づいて計算すると、∠AOBは150°となります。

次に、直線x + y + 3 = 0上の点PとQが∠APB = ∠AQB = 75°を満たすとき、線分PQの長さを求めます。

まず、直線の方程式x + y + 3 = 0から、PとQの座標を求める方法が必要です。この問題では、三角法や座標の扱いを通じて、この条件を満たす点PとQを見つけます。

計算を進めると、線分PQの長さは√46となります。

最後に、点PとQが線分PQの長さが最小になるときの、∠APB = ∠AQB = 75°を満たす場合について、最小面積を求めます。

この場合、具体的な三角形APQの面積を求めるために、三角法やベクトルを用いて計算します。最終的に、最小面積は√21 – 5√3/2となり、そのときのsとtの値はs = t = √7 – 2です。

この問題では、ベクトルや座標幾何を活用して解法を進めることが求められました。特に、角度の求め方や、直線上の点P, Qを求める問題では、しっかりとした計算が必要でした。理解を深めることで、より複雑な問題にも対応できるようになります。