今回の問題では、二次関数の最大値を求める方法について解説します。まず、問題文において「x + 2y + 3 = 0」という式が与えられ、これに基づいてxyの最大値を求める問題です。質問者は途中でどのように展開を進めるべきか迷っており、特に頂点の座標をどのように求めるかがポイントとなります。
1. 問題文の確認
問題文では、与えられた条件として「x + 2y + 3 = 0」を基に、xyの最大値を求めるという課題があります。この式からxをyの式に表し、その後xyの式を求め、二次関数の最大値を導出する方法が求められています。
2. 解法の概要
まず、x + 2y + 3 = 0からxを求めることができます。これをx = -2y – 3と変形し、次にxyを求めるために代入します。これでxy = y(-2y – 3) = -2y² – 3yの形になります。ここから平方完成を行い、最大値を求めます。
途中で平方完成を行う際には、-2(y² + (3/2)y)の形にして、さらに-2(y + 3/4)² + 9/8とすることで、最大値を9/8と求めることができます。
3. 質問者のアプローチと解答の違い
質問者は自分なりにxをyの式で展開しようとしていますが、その結果、y = -1/2x – 3/2の形で進めてしまっています。ここでの違いは、xとyの変数の関係式が入れ替わってしまっている点です。実際には、xをyの式で表し、その後xyを展開する方法が適切です。
質問者が行った方法も、実際には正しい平方完成の方法に沿っていますが、変数の扱い方が誤っているため、最終的な結果が異なっています。
4. 正しい解法を理解する
正しい解法では、x = -2y – 3という式を使い、その後xy = -2y² – 3yの形で展開します。次に、平方完成を行い、最終的にxyの最大値を求めます。この方法をしっかりと理解し、計算の際に変数の扱い方を注意深く行うことが重要です。
5. まとめ
この問題を解くには、まず与えられた条件からxをyの式に表すことが基本です。その後、xyを展開し、平方完成を行うことで、最大値を求めることができます。質問者が行った解法も正しい方法に近いですが、変数の扱いに少し誤りがあったため、最終的な答えが異なりました。問題を解く際には、変数の関係をしっかりと理解し、計算を進めることが大切です。
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