座標平面上の放物線と二等辺三角形の解法: rの値を求める方法

座標平面上に放物線y=x²があり、3点P, Q, Rがその上にあります。これらの点が形成する二等辺三角形PQRの条件を使って、rの値を求める方法を解説します。

問題の設定と条件

問題では、三角形PQRが二等辺三角形であり、直線PQの傾きが2であることが示されています。また、線分PQの長さが√5であり、さらに線分MRの傾きが-1/2であることも条件に含まれています。このような情報を元に、rの値を求めるための方程式を導きます。

放物線y=x²上に点P, Q, Rがあるため、それぞれの点P, Q, Rは次のように表せます。

P(p, p²), Q(q, q²), R(r, r²)。

1. PQの長さが√5であることから、点Pと点Qの距離が次のように表されます。

√((q – p)² + (q² – p²)²) = √5。

2. 傾きが2であるという条件を用いて、直線PQの傾きの式を立てます。

傾きPQ = (q² – p²) / (q – p) = 2。

3. 線分MRの傾きが-1/2である条件により、点Mと点Rの座標を使って、傾きの式を求めます。

傾きMR = (r² – M[1]) / (r – M[0]) = -1/2。

これらの条件をもとに計算した結果、rの値として求まる解は以下の通りです。

r = -1.596 または r = 1.096。

放物線y=x²上における三角形PQRの問題では、与えられた条件を元に方程式を立ててrの値を求めることができました。今回の問題では、rの値は-1.596または1.096のいずれかであることがわかりました。