減衰振動系の応答倍率と減衰係数の範囲の求め方

減衰振動系の問題で、応答倍率の最大値が6未満で、かつグラフが極大値を持つような減衰係数の範囲を求める方法を解説します。この問題は、物理学と工学における振動の理解に重要です。

問題の設定と条件の整理

問題で与えられた条件は次の通りです。質量150 [kg] のおもりが、ばね定数850 [kN/m] のばねと減衰係数cのダンパで吊り下げられています。この振動系の変位の応答倍率の最大値が6未満で、変位の応答倍率のグラフが極大値を持つように減衰係数cの範囲を求める必要があります。

振動の基本的な考え方と応答倍率

振動系の応答倍率は、強制振動の入力に対する出力の変位の大きさの比です。この応答倍率が極大値を持つ場合、減衰振動の特性を示す減衰比（damping ratio）と密接に関連しています。振動の応答倍率は、減衰比によって影響され、減衰係数cの設定により変化します。

減衰振動の応答倍率の最大値と減衰係数の関係

減衰振動の応答倍率が最大値を取るのは、特定の減衰比においてです。応答倍率が極大となる減衰比を求めるためには、まず減衰比ξ（クシタ比）を求め、その後、ξと応答倍率の関係式に基づいて、減衰係数cを計算します。具体的には、減衰比ξは以下の式で表されます：
ξ = c / 2√(mk)
ここで、mは質量、kはばね定数です。

減衰係数の範囲の求め方

応答倍率が6未満で、かつ極大値を持つためには、減衰比ξが臨界値を超えない範囲である必要があります。具体的な計算には、応答倍率の最大値を求める式に減衰比ξを代入し、減衰係数cを求めます。この範囲を求めるためには、与えられた条件を式に代入して計算します。

まとめ

この問題の解決には、減衰振動における応答倍率の理論を理解し、減衰係数と振動系のパラメータに基づいて適切な範囲を導くことが求められます。減衰比ξを求め、応答倍率が最大となる条件を計算することで、減衰係数の範囲を特定できます。計算過程をしっかり理解して、問題を解決してください。