有界閉凸集合上での中点が内部の点になる理由

有界閉凸集合上の内部の2点を取った時、その中点が内部の点になるかどうかについて考えてみましょう。これは凸集合の特徴を利用した問題であり、凸集合の定義を深く理解することが解決の鍵となります。

凸集合とは？

凸集合とは、集合内の任意の2点を結ぶ線分がその集合内に含まれる集合のことを指します。すなわち、集合Aが凸であるためには、もしxとyがAに属していれば、xとyを結ぶ線分もAに含まれる必要があります。この性質が、中点の存在に深く関わっています。

有界閉凸集合は、まず有界であることが要求され、次に閉じている必要があります。具体的には、この集合内の任意の点とその外部点が区別され、集合の境界がきちんと含まれていることを意味します。これにより、集合内の点に関するいくつかの重要な性質が成り立ちます。

凸集合の重要な特徴の一つに、「任意の2点を取ったとき、その中点も集合内に含まれる」という性質があります。特に、内部の2点を取った場合、それらを結ぶ線分の中点もその集合の内部に含まれることが保証されます。これが凸集合の内部における基本的な性質です。

例えば、1次元の直線上の凸集合を考えてみましょう。任意の2点を選び、その中点を計算すると、その中点は常に直線上に存在します。この性質が高次元の凸集合でも同じように成り立ち、内部の点同士を結んだ中点もその集合の内部に位置します。

有界閉凸集合上の内部の2点を取った時、その中点は常に内部の点になります。これは、凸集合が持つ「任意の2点を結ぶ線分がその集合内に含まれる」という性質に基づくものです。凸集合の性質を理解することで、様々な問題に対して確実な解法を見つけることができます。