有界閉凸集合の内部の中点が内部にあることの証明

有界閉凸集合S上で、内部の2点a, bを取ったとき、その中点cもSの内部にあることを示す問題について解説します。この問題は、集合Sの凸性と内部の定義に基づいた理論的な考察を通じて理解できます。

1. 凸集合とその定義

凸集合Sは、集合内の任意の2点を結んだ線分がすべてS内に含まれる集合です。ここで、Sが有界かつ閉じているという前提が重要です。これにより、Sの内部と境界の概念が明確になります。

まず、Sの内部にある点aとbを取ります。このとき、中点cはaとbを結ぶ線分上の点です。線分aとbがS内にあるため、その中点もまたS内に存在します。具体的には、aとbを結ぶ線分をパラメトリックに表すと、c = (a + b) / 2となり、この点cはSの内部に含まれます。

内部とは、集合Sから境界を除いた部分です。したがって、aとbが内部にある場合、その中点も内部に含まれることがわかります。もしcが境界にある場合、aとbのどちらかまたは両方が境界に近い可能性がありますが、ここではcが内部にあることを示しています。

以上のように、Sが有界閉凸集合であり、aとbがその内部にあるならば、aとbの中点cも必ず内部に含まれることがわかります。この証明は、集合Sの凸性と内部の定義に基づいています。

有界閉凸集合において、内部の2点の中点が内部にあることは、凸性と内部の定義を理解することで証明できます。この考え方は、集合の構造や数学的理論を学ぶ上で非常に重要です。