確率変数の分布関数に関する性質、特に二項分布とポアソン分布の分布関数が満たすべき性質について考えるとき、まずその基本的な性質を確認することが重要です。ここでは、分布関数が単調非減少関数であり、右連続で、最終的には0または1に収束することが確認されました。次に、二項分布とポアソン分布においてこれらの性質がどのように確認できるのかを解説します。
1. 二項分布の分布関数の確認
二項分布では、確率関数の総和として分布関数F(x)が求められます。このとき、x <= yの場合には {ω∈Ω : X<=x} ⊂ {ω∈Ω : X<=y} となり、F(x) ≤ F(y) という関係が成り立ちます。これにより、二項分布の分布関数は単調非減少関数であることが確認できます。
さらに、分布関数が1に収束することを示すために、R = U(-∞,n] であり、{(-∞,n]}^∞_n=1が単調増加することを確認することができます。これにより、F(∞) = 1が成り立つことがわかります。
2. ポアソン分布の分布関数の確認
ポアソン分布でも同様の議論が適用できます。分布関数は累積確率として表され、xの範囲が増加するにつれてその値が単調に増加します。したがって、ポアソン分布の分布関数も単調非減少関数であり、0から1に収束することが確認できます。
さらに、ポアソン分布の分布関数も右連続であり、これによりF(∞) = 1、F(-∞) = 0となります。
3. 分布関数の性質の補足
二項分布とポアソン分布の分布関数について、それぞれが満たすべき性質を示すためには、分布関数がF(x) = P({ω∈Ω : X<=x})という形で表されることを示すことが重要です。これにより、分布関数が単調非減少であること、右連続であること、そして∞や-∞で収束することが確認できます。
4. まとめ
二項分布とポアソン分布の分布関数が満たすべき性質を確認することで、確率論における基本的な理解を深めることができます。それぞれの分布について、単調性、連続性、そして収束性がどのように成り立つのかを理解することは、確率論を学ぶ上で非常に重要です。
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