∫1/sin(3x) dxの積分方法について解説

積分の問題の中でも、三角関数を含む積分はよく出題されます。特に、∫1/sin(3x) dx のような積分は少し複雑ですが、適切な手順で解くことができます。この記事では、この積分問題をどのように解くかをわかりやすく解説します。

1. 積分の設定と問題の整理

まず、与えられた問題は以下の積分です。

∫1/sin(3x) dx

この積分を解くためには、三角関数の積分を行うための変換や公式を利用します。

この積分では、置換積分を使うことが有効です。具体的には、積分の中にある sin(3x) を扱うために、変数変換を行います。置換を行うことで、より簡単に積分を解くことができます。

置換として、u = 3x とおきます。これにより、du = 3dx となります。

積分式を置換後に書き換えると、次のようになります。

∫1/sin(3x) dx = 1/3 ∫1/sin(u) du

ここで、∫1/sin(u) du は、標準的な三角関数の積分であるため、結果として得られるのは次のような形になります。

1/3 ln |tan(u/2)| + C

ここでCは積分定数です。

u = 3x に戻すと、最終的な答えは次のようになります。

1/3 ln |tan(3x/2)| + C

これが、与えられた積分の解となります。

∫1/sin(3x) dxの積分は、置換積分を使って解くことができます。三角関数の積分は少し複雑に思えるかもしれませんが、置換積分の手順を踏むことで簡単に解けます。この方法を覚えておくと、他の三角関数を使った積分にも応用できます。