r√(1 + r^2)の不定積分の途中式と解法手順

r√(1 + r^2)の不定積分を解く際、途中式を理解することが大切です。この式は積分の基本的な変形を利用して解くことができます。本記事ではその解法手順を分かりやすく解説します。

積分の準備と式の確認

与えられた積分式は、r√(1 + r^2)です。この式を不定積分するためには、まず式を簡単に扱える形に変形する必要があります。式は次のように表されます。

∫ r√(1 + r^2) dr

積分の解法には置換積分が便利です。まず、r^2 + 1を一つの変数に置き換えることで積分を簡単にします。

置換を行うために、以下のように変数を設定します。

これにより、積分式は次のように変形できます。

∫ r√(1 + r^2) dr = 1/2 ∫ √u du

次に、1/2 ∫ √u du の形で積分を行います。√uの積分は基本的な積分ルールに従い、次のようになります。

1/2 ∫ u^(1/2) du = 1/2 * (2/3) u^(3/2) = 1/3 u^(3/2)

ここで、u = 1 + r^2 を元に戻すと。

1/3 (1 + r^2)^(3/2) + C

r√(1 + r^2)の不定積分を解くためには、置換積分を使用して式を簡単にし、基本的な積分ルールを適用しました。最終的な結果は、1/3 (1 + r^2)^(3/2) + C となります。この手法を利用すれば、類似の積分問題も解決できます。