高校数学 数C：y²＝-4x の極方程式への変換方法と解法の選択

高校数学 数Cの問題で、y²＝-4x を極方程式に変換する方法には複数のアプローチがあります。この記事では、解法Iと解法IIの2通りの解法について、どちらの方法が適切か、また解法Iにおける重要な部分について詳しく解説します。

問題の整理と極方程式への変換

まず、問題を整理します。与えられた式はy²＝-4xです。この式を極座標に変換するためには、x＝r cos(θ)、y＝r sin(θ)を代入する必要があります。ここで、rは極座標系における点の距離、θは角度を表します。

この変換を行うことで、y²＝-4xという直交座標系の式が極座標系の式に変わります。それでは、実際に解法Iと解法IIを確認していきましょう。

解法Iのステップとその重要性

解法Iでは、まず式にx＝r cos(θ)、y＝r sin(θ)を代入します。その後、式はr² sin²(θ) = -4 cos(θ)となります。この式からrを求めるために、r(r sin²(θ) + 4 cos(θ)) = 0という形に変形します。

ここで、「r＝0またはr sin²(θ) + 4 cos(θ) = 0」の部分は非常に重要です。r＝0は極を満たし、またr sin²(θ) + 4 cos(θ) = 0は、極座標における曲線の形を示します。これにより、曲線が極を通ることがわかります。

解法IIのアプローチとその簡潔さ

解法IIでは、同じく式に代入した後、両辺をr sin²(θ)で割ることで、r = -4 cos(θ) / r sin²(θ)という式に変形されます。これは解法Iと比べて少し複雑に見えますが、最終的にはrの値を求めるための簡単な形になります。

解法IIでは、分数の形になったため、式が見た目にスッキリしますが、解法Iのように極を通る曲線を示すためには追加の理解が必要です。

解法Iの「―――」部分の理由

解法Iの「―――」で囲った部分について、なぜこれを書かなければならないのかという点に関してですが、これは極座標における曲線がどのように形成されるかを示すために必要です。この部分は、r＝0の点が極に対応することを示し、r sin²(θ) + 4 cos(θ) = 0が実際に曲線の形を表すために必要な条件であることを明示しています。

解法Iと解法IIのどちらが好ましいか

解法Iと解法IIはどちらも正しい方法ですが、解法Iの方がより直感的で、極座標系における曲線の理解が深まるため、好ましい方法と言えます。解法IIも簡潔ですが、極座標における曲線の通り方を理解するためには、解法Iのように詳細なステップを踏んだ方が理解が深まります。

まとめ

y²＝-4x を極方程式に変換する方法には解法Iと解法IIがありますが、解法Iの方が極座標における曲線の性質を理解する上で適切です。また、解法Iで重要なのは、r＝0という極を満たす点と、r sin²(θ) + 4 cos(θ) = 0が表す曲線が極を通るという理解です。このような理解を深めることで、極方程式に関する問題を効果的に解くことができます。