円に内接する三角形ABCの問題解説：OCの長さ、面積、内接円の半径と円Oの面積の比

数学Ⅰの問題で出てくる円に内接する三角形ABCの問題について、具体的な解法をステップごとに解説します。この問題は、三角形の辺の長さが与えられたときに、円に内接する三角形の性質を活かしていくつかの計算を行います。

問題の整理

与えられた条件に基づいて、次のことを求める問題です。

それぞれの問題に対して、順を追って解説していきます。

円に内接する三角形の場合、三角形の各頂点と円の中心を結んだ線分は、円の半径になります。今回は三角形ABCが円に内接しており、中心OからCへの直線をOCとすると、OCの長さは円の半径であり、三角形ABCの性質を用いて求めます。

具体的には、三角形ABCが与えられた状態で、円に内接する性質を利用してOCの長さを求める方法を説明します。一般的には、円の半径rを求めるために、ヘロンの公式や三角形の面積と関連づけて解くことができます。

△ABCの面積を求める方法として、ヘロンの公式を使用します。ヘロンの公式は、三角形の辺の長さから面積を求める方法です。

辺の長さがAB=7、BC=8、CA=5のとき、まずは半周長sを求めます。

s = (AB + BC + CA) / 2 = (7 + 8 + 5) / 2 = 10

次に、ヘロンの公式を使って面積を求めます。

面積 = √(s(s-AB)(s-BC)(s-CA)) = √(10(10-7)(10-8)(10-5)) = √(10×3×2×5) = √300 = 10√3

△ABCに内接する円の半径rを求めるには、三角形の面積Aと半周長sを使って次の式を利用します。

r = A / s

ここで、Aは△ABCの面積、sは半周長です。先ほど求めた面積A = 10√3とs = 10なので、内接円の半径rは。

r = 10√3 / 10 = √3

円Oの面積を求めるためには、円の半径を求める必要があります。円Oの半径は、問題で求めたOCの長さと一致します。したがって、円Oの面積は次のように求められます。

円Oの面積 = π × r^2

OCの長さが求まったら、それを半径として円Oの面積を求めます。最終的に円Oの面積と、求めた内接円の面積の比を求めます。

この問題では、円に内接する三角形の性質を活用して、OCの長さ、三角形の面積、内接円の半径、円Oの面積の比を順を追って求めました。それぞれの計算方法を理解することで、円に関連する数学の問題に自信を持って取り組むことができるようになります。