数学の問題でよくあるのが、異なる条件を持ったアイテムを選ぶ確率を求める問題です。例えば、赤青黄緑の4色のカードが5枚ずつあり、それぞれに1から5の数字が書かれた20枚のカードから、色も数字も異なる3枚を選ぶ確率を求める問題があります。この問題を解くためには、適切な確率の計算方法を理解することが重要です。
問題設定と目標
この問題では、20枚のカードから3枚を同時に取り出すとき、選ばれる3枚が色も数字も異なる確率を求めます。各色（赤、青、黄、緑）には1から5までの数字が1枚ずつ書かれたカードが5枚ずつあります。この問題で求める確率は、選ばれた3枚がすべて異なる色と数字である場合の確率です。
そのため、選ぶカードは色と数字の両方において重複がないようにする必要があります。次に、計算方法に焦点を当ててみましょう。
解法のステップ：適切な組み合わせを求める
最初に、全ての組み合わせを求めます。カードが20枚あるので、3枚を選ぶ場合の総組み合わせ数は、組み合わせの公式を使って計算できます。
20枚から3枚を選ぶ組み合わせの数は、20C3として計算され、これは以下のようになります。
20C3 = 20 × 19 × 18 ÷ (3 × 2 × 1) = 1140
色と数字が異なる3枚を選ぶ場合の組み合わせ
次に、色と数字がそれぞれ異なる3枚を選ぶ場合について考えます。
まず、カードの色が異なる3枚を選ぶ方法を考えます。色は赤、青、黄、緑の4色から選ぶので、色の選び方は4C3通りです。つまり、色を3色選ぶ方法は4通りです。
次に、各色に対応する数字を選びます。数字は1から5までの5種類から1つずつ選びます。したがって、数字が異なる3枚を選ぶ方法は、5C3通りです。これは、5種類から3種類の数字を選ぶ方法です。
最終的に、選ばれた色と数字が異なる3枚を選ぶ場合の組み合わせは、4C3 × 5C3 通りとなります。計算すると、4 × 10 = 40通りです。
確率の計算
確率は、望ましい結果の組み合わせ数を全ての組み合わせ数で割った値です。したがって、3枚のカードが色も数字も異なる確率は、次のように計算できます。
確率 = 望ましい組み合わせ数 ÷ 総組み合わせ数 = 40 ÷ 1140 = 4/114 = 4/19
まとめ
この問題を解くためには、まず全てのカードの組み合わせを求め、その後に色と数字が異なる組み合わせを選ぶ方法を計算しました。最終的に、3枚のカードが色も数字も異なる確率は4/19となります。
このような確率問題では、組み合わせの計算が重要で、色や数字などの条件を慎重に考慮しながら解いていくことが必要です。計算を正しく進めることで、正確な確率を求めることができます。
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