二次方程式の解が奇数であるときのaの値の求め方

中学数学の問題で、二次方程式 x^2 – 8x + a/3 = 0 の解がともに奇数であるとき、自然数aの値を求める問題について解説します。この問題は、解の公式を使って解くことができます。順を追って解説していきますので、ぜひ確認してみてください。

ステップ1: 解の公式を使う

まず、この二次方程式の解を求めるために、解の公式を使います。解の公式は以下の通りです。

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

この式をx^2 – 8x + a/3 = 0 に適用するために、まずa、b、cの値を識別します。ここで、a = 1, b = -8, c = a/3 です。

解の公式に代入して、解を求めます。

x = (8 ± √((-8)² – 4×1×a/3)) / (2×1)

x = (8 ± √(64 – 4a/3)) / 2

問題では、解がともに奇数であるときのaの値を求めることが求められています。解が奇数になるためには、√(64 – 4a/3) が奇数である必要があります。

64 – 4a/3 は、√(64 – 4a/3) が整数であるため、64 – 4a/3が完全平方数である必要があります。

完全平方数になる条件を満たすaの値を求めると、a = 21とa = 45が得られます。

したがって、この二次方程式の解がともに奇数であるための自然数aの値は、a = 21およびa = 45です。

この問題は、解の公式を使い、解が奇数であるための条件を満たすaの値を求める問題でした。解が奇数であるためには、式の中の平方根の部分が整数であり、結果としてaの値が21と45に絞られました。このように、解の公式を使って問題を解き、条件を満たす解を求める方法を理解しましょう。