放物線の頂点の軌跡と交点、面積の最大値を求める方法

この問題では、2つの放物線y=f(x)とy=g(x)の頂点の軌跡や交点、またその間に囲まれる面積の最大値を求める問題です。具体的には、aを実数とする放物線の方程式に関して、頂点の軌跡の方程式、交点のaの範囲、そしてそのときの面積を求める方法について順を追って解説します。

問題の整理と関数の確認

まず、与えられた関数は以下の通りです。

f(x)はaに依存した二次関数であり、g(x)は標準的な二次関数です。これらを使って、(1)から(3)の問題を順番に解いていきます。

f(x) = x² + 4ax – 10a² + 8を整理して、頂点を求めます。二次関数の頂点は、x = -b / 2a で求めることができます。ここで、f(x)のx²の係数は1、4axのaの係数は4aです。

頂点のx座標は x = -4a / 2 = -2a となります。このx座標をf(x)の式に代入し、y座標を求めることで、頂点の座標を得ることができます。これにより、aの値に応じた頂点の軌跡の方程式が導かれます。

2つの放物線y = f(x)とy = g(x)が異なる2点で交わるための条件を考えます。交点を求めるためには、f(x) = g(x)となるxの値を求めます。すなわち、x² + 4ax – 10a² + 8 = x² となります。

x²が両辺に現れるため、これを取り除いて簡単に整理すると、4ax – 10a² + 8 = 0 となります。この方程式を解くことで、aの範囲を求めることができます。

放物線y = f(x)とy = g(x)が異なる2点で交わるとき、その間に囲まれる面積を求めます。この面積は積分を使って求めることができます。まず、交点のx座標を求め、その間の領域を積分することで面積を計算します。

面積Sは、交点x1からx2までの積分として表されます。積分の結果として得られた面積が最大になるaの値を求めるためには、Sをaで微分し、最大値となる点を探します。このようにして、最大面積Sとそのときのaの値を求めます。

この問題では、f(x)とg(x)という二つの放物線に関して、頂点の軌跡、交点、そして面積の最大値を求めました。特に、交点を求める際には式を整理してaの範囲を求め、面積の最大値を求めるためには積分と微分を活用しました。これらの手順を通じて、放物線の性質をより深く理解することができます。