数学1の二次不等式を解く際に、変域の真ん中で最大値が2つ出るという問題について、どのように場合分けすれば良いのか理解しにくいことがあります。特に、「どっちに含めても良い」と書かれている場合、その選択が適切なのか疑問に思うこともあるでしょう。この記事では、変域の真ん中で最大値が2つ出る場合の解法と、場合分けを増やす必要があるのかについて解説します。
最大値が2つ出る場合の状況
二次関数のグラフが変域の真ん中を通るとき、その点が最大値を示す場合があります。特に、グラフが上に凸の場合（a > 0）や下に凸の場合（a < 0）、または頂点が変域の中点に位置しているときに最大値が変域の端と真ん中に現れることがあります。
例えば、二次関数のグラフが「U」字型で、変域の両端がそれぞれ最大値を持ち、中央の点でも最大値が得られる場合です。このようなケースでは、二つの最大値が出ることがあります。
場合分けと最大値の取り扱い
質問の内容にある「どっちに含めても良い」という表現についてですが、これは、変域の端点または中点で最大値が同じ値を取る場合、どちらを選んでも解答が矛盾しないという意味です。つまり、変域内で最大値を取る点が複数ある場合、どちらを最大値として選んでも結果は同じです。
この場合、場合分けを増やす必要はありませんが、理解しやすくするために、それぞれの最大値を個別に考え、それがどの点で達成されているかを確認することは有効です。
変域の真ん中で最大値が2つ出る場合の解法
具体的に、変域の真ん中で最大値が2つ出る問題を解く方法について見てみましょう。例えば、xの範囲が[a, b]で、二次関数f(x) = ax^2 + bx + cが与えられた場合、f(x)の最大値が[a, b]の両端または中点で得られる可能性があります。
まず、f(x)の頂点を求め、その頂点が範囲[a, b]のどこに位置するかを確認します。頂点のx座標はx = -b / 2aで求められます。次に、f(x)の値をx = a, bの端点と、x = -b / 2aの中点で計算し、最大値を比較します。
場合分けを増やさない理由
場合分けを増やさない理由は、変域の真ん中で最大値が2つある場合、その選択が問題の解法に影響を与えないためです。例えば、最大値が両端と中央で同じであるなら、どちらを選んでも正しい答えとなり、場合分けをしても解答が異なることはありません。
したがって、場合分けを増やすことは解法を複雑にするだけで、特に必要がないと言えます。解答の簡潔さと理解しやすさを重視するため、問題の状況に応じて適切に選択することが大切です。
まとめ
二次不等式における最大値を求める際に、変域の真ん中で2つの最大値が出る場合、その選択肢について「どっちに含めても良い」と記載されている理由は、解答において矛盾がないためです。場合分けを増やす必要はなく、最大値が同じであればどちらを選んでも結果に影響はありません。問題の構造を理解し、適切に解法を進めることが重要です。
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