y = sin²x + 4sinxcosx + 5cos²xのとりうる値の範囲を求める方法

この問題では、三角関数の式y = sin²x + 4sinxcosx + 5cos²xのとりうる値の範囲を求める方法を解説します。まず、式を変形して、sin2xやcos²xの性質を利用します。最終的に、yがどの範囲の値を取るかを導きます。

問題の整理

まず、与えられた式y = sin²x + 4sinxcosx + 5cos²xを見ていきましょう。sinxcosxをsin2xに変換することで、式を簡単にすることができます。また、cos²xを1 – sin²xとして置き換えることも可能です。これらを使って、式を変形していきます。

まず、sinxcosx = 1/2 * sin2xなので、4sinxcosxは2sin2xになります。また、cos²x = (1 – sin²x) なので、この関係を使って式を整理します。

これらの変換を行った結果、式yはsin2xとcos2xを使った形に変形されます。最終的にはy = A * sin(2x + π/φ) + Bのような形になります。ここで、A、B、π/φがそれぞれどのように決まるかを次に示します。

yを簡単化した後、最終的に得られる式はy = A * sin(2x + π/φ) + Bという形になります。ここでA、B、π/φの値を求めることで、yのとりうる値の範囲が決定されます。具体的な計算手順を追っていきます。

まず、Aは式の係数で、Bは定数項です。π/φは位相の調整に関連する定数です。これらの値を求めるためには、三角関数の性質をしっかりと理解し、計算を進めていきます。

最終的にyがとりうる範囲は、sin(2x + π/φ)が-1から1まで変動することを利用して、yの最大値と最小値を求めることで決定できます。

具体的には、yの最大値はA + B、最小値は-B – Aになります。この範囲を求めることで、yのとりうる値の範囲が明確になります。

この問題では、三角関数の性質をうまく活用し、式の変形を行いました。最終的にyがとりうる範囲を求めるには、係数A、B、π/φを求めて、その範囲を求めることが重要です。これらの手順をしっかりと理解し、計算を進めていきましょう。