複素微分と正則性：f(z) = Log((i+z)/(1-iz)) の正則範囲の求め方と図示

大学数学の複素微分と正則性に関する問題です。今回は、複素関数f(z) = Log((i+z)/(1-iz))の正則範囲を求め、図示する方法について解説します。正則性とは、関数が複素平面で微分可能である範囲を指し、その範囲を求める問題に取り組みます。

正則性とは？

正則性とは、ある複素関数が定義されている領域内で微分可能であることを意味します。具体的には、関数がその領域内で連続であり、また微分も可能であることを指します。複素関数が正則である範囲を求めるためには、関数が定義されている範囲を確認し、微分可能な領域を探すことが必要です。

関数 f(z) = Log((i+z)/(1-iz)) の正則範囲の求め方

関数 f(z) = Log((i+z)/(1-iz)) は、複素対数関数を含んでいます。複素対数関数は、定義域において複素数のゼロ点を避ける必要があります。具体的に、この関数の分子と分母がゼロになる点、すなわち i+z = 0 および 1-iz = 0 の場合、関数は定義されません。これらの条件を使って、正則性を満たすzの範囲を求めることができます。

最初に、i+z = 0 の条件から z = -i であることがわかります。次に、1-iz = 0 の条件から z = 1/i = -i となります。したがって、z = -i の点では関数が定義されないため、この点を除いた範囲が正則領域となります。

正則範囲を図示する方法

正則範囲を図示するためには、関数の定義域とその微分可能な領域を視覚的に確認する必要があります。この場合、z = -i の点を除いた複素平面上の領域が正則範囲になります。図としては、複素平面上でz = -iの点を避けた領域を塗りつぶすことで正則範囲を示すことができます。

このように、z = -i の点を除いた複素平面が関数の正則範囲となります。この範囲内で、f(z) = Log((i+z)/(1-iz)) は微分可能であり、正則関数として扱うことができます。

正則範囲の図示

図を描く際は、z = -i の点を中心に、複素平面上のその周りを除いた領域を表示します。これによって、正則性がどの範囲で成り立つかが視覚的に確認できます。z = -i の点を避けることで、関数が正則である範囲を示すことができるのです。

まとめ

f(z) = Log((i+z)/(1-iz)) の正則範囲を求めるには、関数の定義域を確認し、複素数のゼロ点を避ける必要があります。z = -i の点で関数が定義されないため、その周りが正則範囲となります。図を描いてこの範囲を視覚的に確認することで、関数の正則性を理解することができます。