ゲイン余裕と位相余裕の計算方法について解説（伝達関数G(s)=(1.5/(s+1))^3の場合）

この質問では、伝達関数G(s) = (1.5/(s+1))^3のゲイン余裕と位相余裕の計算について説明します。多くの方がゲイン交差周波数や位相交差周波数を求める際に混乱することがあるため、分かりやすく計算手順を解説します。

1. 伝達関数とゲイン余裕、位相余裕の定義

まず、伝達関数はシステムの動作を示す数式です。ゲイン余裕と位相余裕は、システムの安定性を評価するために用いられます。ゲイン余裕は、ゲイン交差周波数におけるゲインの余裕を示し、位相余裕は位相交差周波数における位相の余裕を示します。

与えられた伝達関数G(s) = (1.5/(s+1))^3において、ゲイン余裕と位相余裕を求めるためには、まずG(jω)の虚部が0となる周波数（ゲイン交差周波数）を求める必要があります。ここではG(jω)の分子と分母をそれぞれ計算し、虚部がゼロになるω（ゲイン交差周波数）を求めます。

G(jω) = (1.5^3) / ((1 – 3ω^2) + j(3ω – ω^3)) という式から、虚部がゼロになる条件を考えます。虚部がゼロになるためには、3ω – ω^3 = 0となり、この方程式を解くことでゲイン交差周波数ω = √3を得ることができます。

次に、ゲイン余裕を計算します。ゲイン余裕は、ゲイン交差周波数ω = √3におけるゲインの絶対値を求め、-20log|G(j√3)|を計算します。この結果、ゲイン余裕は約7.5dBになります。

位相余裕は、位相交差周波数における位相の余裕を求めます。位相余裕の計算には、次の式を使用します：位相余裕 = π + arg(G(j√3))。ここで、位相を計算した結果、位相余裕は約360°（または2πラジアン）になります。

伝達関数G(s) = (1.5/(s+1))^3におけるゲイン余裕と位相余裕の計算方法について説明しました。ゲイン交差周波数を求め、その値に基づいてゲイン余裕と位相余裕を計算することで、システムの安定性を評価することができます。この計算方法を理解すれば、他のシステムにも応用できるようになります。