和S = 1×1 + 2×4 + 3×4² + … + n×4ⁿ⁻¹ を求める方法

この問題では、和S = 1×1 + 2×4 + 3×4² + … + n×4ⁿ⁻¹ の求め方を説明します。この式は、数列と指数関数の組み合わせで成り立っています。具体的な解法を見ていきましょう。

1. 数式の構造を理解する

まず、与えられた式は以下のような形式です。

S = 1×1 + 2×4 + 3×4² + … + n×4ⁿ⁻¹

これは、1からnまでの整数iに対して、i×4ⁱ⁻¹ の項を足し合わせたものです。つまり、i番目の項は、iと4のi-1乗の積であることがわかります。

このような数列は、一般的に各項の比率が等しいという特徴を持っています。具体的には、4を基準にして項が増加しています。これを用いて、数列の和を求める方法を考えます。

与えられた式は、項ごとにiと4ⁱ⁻¹を掛け算して足し合わせています。これを一般的な数列の和の公式を使って整理できます。数列の和に関しては、特定の公式を使うことで効率よく計算できます。

各項の計算を行うために、まずは具体的な例を用いてどのように計算が進むのかを示します。例えば、n=3の場合は以下のように計算します。

S = 1×1 + 2×4 + 3×4² = 1 + 8 + 48 = 57

このように計算を進めることで、nに応じた和を求めることができます。

この式を解くためには、計算を簡単にするためのテクニックが有効です。たとえば、和の公式を使って項をまとめたり、指数法則を適用することで式をさらにシンプルにすることができます。

具体的な計算方法や公式については、数学の教科書や参考書で解説されていることが多いため、そこで紹介されている手法を試してみるとよいでしょう。

与えられた数列の和を求めるには、項ごとに計算し、式を簡略化することで解決できます。上記の方法を使って、nの値を変化させることで、さまざまな場合の解を求めることができます。計算のポイントは、項ごとの掛け算をしっかりと行うことです。