中学1年生向け数学問題：28にaを掛けた数が自然数の2乗になるaの求め方

中学1年生の数学問題で、「aは100以下の自然数で、28にaをかけた数が自然数の2乗になるようなaを求めなさい」という問題が出題されることがあります。この問題を解くには、式の性質を理解し、どのようにaを求めるかを考える必要があります。この記事では、この問題をわかりやすく解説していきます。

問題の整理

問題文を整理すると、「aは100以下の自然数で、28aがある自然数の2乗になる」という条件です。まず、この条件に基づいて式を立てます。

式で表すと、「28a = x²」となります。ここで、xは自然数であり、28aが平方数（自然数の2乗）である必要があります。

28aが平方数になるためには、28aが平方数の形（例えば1², 4², 9²など）である必要があります。28を因数分解すると、28 = 2² × 7となります。

したがって、aが自然数であるためには、7の部分が平方数を作るために必要な条件を満たさなければなりません。つまり、aの中に7を含む必要があります。

aが100以下の自然数であるという制約があるため、aに含まれるべき因子を探し、aが満たすべき条件を確認していきます。aに含まれるべき因子は、7を2回掛け算できるようなものです。

したがって、aは7の倍数でなければなりません。また、aが100以下である必要があるため、aの候補は7, 14, 28, 49, 70, 98のいずれかです。

次に、aの候補に対して28aが平方数になるかどうかを確認します。

– a = 7の場合、28a = 28 × 7 = 196 → 196 = 14²（平方数）

– a = 14の場合、28a = 28 × 14 = 392 → 392は平方数ではない

– a = 28の場合、28a = 28 × 28 = 784 → 784 = 28²（平方数）

– a = 49の場合、28a = 28 × 49 = 1372 → 1372は平方数ではない

– a = 70の場合、28a = 28 × 70 = 1960 → 1960は平方数ではない

– a = 98の場合、28a = 28 × 98 = 2744 → 2744 = 52²（平方数）

aに当てはまる数は、7, 28, 98です。これらの値において、28aが平方数となります。

この問題では、28aが平方数になるようなaを求めるために、28の因数分解とaに含まれるべき因子を考え、候補となる自然数aを絞り込みました。最終的に、aに当てはまる数は7, 28, 98となります。このような問題では、因数分解と平方数の性質を利用して、効率的に解くことができます。