円順列の総数がなぜ(n-1)!で計算されるのか：分かりやすい解説

円順列の問題では、なぜ円順列の総数を(n-1)!で計算するのかが疑問に思われることがあります。特に、授業での公欠などでこの概念を学べなかった場合、理解が難しいこともあります。この記事では、円順列の総数が(n-1)!で計算される理由を、具体例を交えて分かりやすく解説します。

円順列とは？

円順列とは、円形に並べたオブジェクトを並べる順列のことです。例えば、5人を円形に並べる場合、並べる順序がどうであれ、同じ配置であればそれは同じ順列として扱います。これが直線上で並べる順列とは異なるポイントです。

通常、n個のオブジェクトを直線上に並べる順列はn!（nの階乗）で計算できますが、円形の場合は少し工夫が必要です。

円順列が(n-1)!で計算される理由

円順列では、同じ配置でも回転しただけで異なる順列と見なさないため、まず1つのオブジェクトを固定する必要があります。この1つを固定することで、回転による重複を排除することができます。

たとえば、5人を円形に並べる場合、1人を基準として固定します。残りの4人をその基準に対して並べることになるため、残りの4人を並べる順列の数は4!となります。一般的に、n個のオブジェクトを円形に並べる場合、最初の1つを固定し、残りの(n-1)個のオブジェクトを並べるので、円順列の総数は(n-1)!となります。

具体例での円順列の計算

例えば、3人を円形に並べる場合を考えます。まず1人を固定し、残りの2人を並べる方法を考えると、並べ方は2!（つまり2通り）です。これと同じように、n人を円形に並べる場合は、1人を固定した後、残りの(n-1)人を並べることになるため、総数は(n-1)!となります。

これにより、円順列がなぜ(n-1)!で計算されるのかが理解できるはずです。回転を考慮することで、無駄な重複を排除した計算方法が確立されます。

円順列の応用と注意点

円順列は、物理学やコンピュータサイエンス、さらにはゲームの配置など、さまざまな分野で応用されています。特に、円形の配置で重複を排除して順列を求める場面で使われます。

円順列を計算する際の重要なポイントは、最初の1つを固定することです。これをしないと、回転の影響を受けて異なる配置が重複としてカウントされてしまうため、正確な結果が得られません。

まとめ

円順列の総数を(n-1)!で計算する理由は、円形での配置において回転の影響を排除するためです。最初の1つを固定することで、残りの(n-1)個のオブジェクトの順列を求めることができ、その結果として(n-1)!という計算式が導かれます。この考え方を理解することで、円順列の問題を効率的に解けるようになります。