標準正規分布N(0,1)におけるkの値を求める方法

今回は、標準正規分布N(0,1)に基づいた確率の問題を解説します。与えられた条件に基づき、kの値を求める方法についてステップバイステップで説明します。

問題の概要

標準正規分布N(0,1)に従う確率変数Zに関して、次の条件を満たすkを求める問題です。

まず、これらの条件が意味するところを理解しましょう。

標準正規分布N(0,1)は、平均0、分散1の正規分布です。標準正規分布に従う確率変数Zは、平均が0、標準偏差が1であるため、その分布は左右対称です。Zの累積分布関数(CDF)はP(Z ≤ z)であり、この値を使って問題を解いていきます。

また、標準正規分布では、分布表や計算機を使って累積確率を求めることができます。

条件(1)は、Zが-kからkの範囲に収まる確率が0.8であることを示しています。標準正規分布の対称性を利用し、P(-k ≤ Z ≤ k)はP(Z ≤ k) – P(Z ≤ -k)と表せます。

Zの対称性を考えると、P(Z ≤ -k)はP(Z ≥ k)に等しいため、P(Z ≤ k) – P(Z ≥ k) = 0.8となります。したがって、P(Z ≤ k) = 0.9となります。

条件(2)は、P(Z ≤ k) = 0.8です。標準正規分布の累積分布関数(CDF)を使って、この条件を満たすkの値を求めます。

標準正規分布表や計算機を使って、P(Z ≤ k) = 0.8に対応するkの値を調べると、k ≈ 0.84であることがわかります。

この問題を解くためには、標準正規分布の対称性と累積分布関数(CDF)の性質を利用しました。P(Z ≤ k) = 0.8に対応するkの値は約0.84であり、これを基に様々な確率を計算できます。これらの手法を覚えておくと、今後も正規分布に関する問題をスムーズに解くことができます。