高校数学における不等式の変形では、平方根や二乗などの計算を正確に扱うことが求められます。特に、「13≧(2x+3y)²」という不等式が「-√13≦2x+3y≦√13」になる理由について疑問を持つ学生が多いかもしれません。この問題を理解するために、数学的な変形過程とその背後にある理論を詳しく解説します。
問題の整理と不等式の基礎
まず、問題文を整理しましょう。与えられた不等式は「13≧(2x+3y)²」です。この不等式は、(2x+3y)²が13以下であることを意味しています。これを解くためには、まず両辺の平方根を取る必要がありますが、注意点があります。
平方根を取る前に、不等式の性質を理解することが重要です。特に、平方数は常に非負の値を取ることに注目しましょう。これを踏まえて、次にどのように不等式を変形するのかを見ていきます。
平方根を取る際の注意点
(2x+3y)²≦13という式から、両辺の平方根を取ると、(2x+3y)≦√13 となることを予想するかもしれませんが、この時点で1つの重要なポイントがあります。それは、平方数の平方根を取る際、両辺に±をつける必要があるということです。
具体的には、(2x+3y)²≦13の場合、(2x+3y)が√13以下であるだけでなく、-(2x+3y)も√13以下であるため、-√13≦2x+3y≦√13という形に変形されます。このように、平方根を取る際は、負の値も考慮しなければならない点が非常に重要です。
なぜ±が必要なのか
平方根を取る際に±が必要な理由を理解するために、まず平方数の特性を思い出しましょう。例えば、(2x+3y)²=9の場合、(2x+3y)は3または-3のどちらかである可能性があります。これは、平方数は常に非負ですが、その平方根は正負両方の値を取るためです。
そのため、(2x+3y)²≦13の場合、(2x+3y)の値は-√13から√13の範囲に収束することが分かります。つまり、-√13≦2x+3y≦√13となります。
まとめ
このように、13≧(2x+3y)²という不等式から-√13≦2x+3y≦√13へと変形する理由は、平方根を取る際に±の符号を加える必要があるからです。平方数の平方根は常に正または負の両方の値を取るため、式の変形時にはその点を正確に理解することが重要です。この数学的な理論を理解すれば、類似の問題にも簡単に対処できるようになります。
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